hoe bereken je ongelijke annuïteiten?

Interessante vraag, maar als ik de opgave goed begrijp, niet heel gemakkelijk om te berekenen. Je wilt dus weten hoeveel je eerste jaarlijkse aflossing bedraagt bij een lening van 100.000 als je een jaarlijkse rente van 7% hebt, én iedere aflossing 3% groter moet zijn dan de voorgaande.

De manier om hieruit te komen, is om met variabelen te werken, omdat we dan misschien een patroon ontdekken.

Dus: Laat het beginbedrag (100000) hier B zijn, laat de jaarlijkse rente (7%= 1.07) hier r zijn, en laat de jaarlijkse groeifactor van de aflossing (3%=1.03) hier g zijn. Noem het bedrag van de eerste aflossing x. Het bedrag van de 2e aflossing is dan g x, dat van de 3e aflossing g^2 x, en zo verder.

Voor ieder jaar bereken je dan het nieuwe bedrag door éérst het oude openstaande bedrag maal 1.07 te doen (7% rente), en er dàn g^(i-1) x af te halen als het om de i-e aflossing gaat.

Zo krijgen we de volgende jaarsituaties:

Jaar 0 : B
Jaar 1 : B * r - x
Jaar 2: ( B * r - x) * r - g * x = r^2 * B - (r+g)* x
Jaar 3: (r^2 * B - (r+g)* x) * r - g^2 * x = r^3 B -(r^2 + r*g +g^2 ) x
Jaar 4: (r^3 * B -(r^2 + r*g +g^2 ) x ) * r - g^3 x = r^4* B - (r^3 + r^2 g +g^2 r + g^3) x

En zo wordt het patroon duidelijk.

Na 10 jaar hebben we dus:
r^10* B - (r^9 + r^8 * b + r^7* b^2 +r^6* b^3 +r^5* b^4 +r^4* b^5 +r^3* b^6 +r^2* b^7 + r^8* b +r^9) x

En dit moet op 0 uitkomen.

Die lange veelterm met r en g tussen haakjes is vervelend, maar uit te rekenen (immers r =1.07 en g=1.03) , daar komt bij benadering 15,5808 uit. Ik noem het verder V.

Zo krijgen we

r^10* B - V x =0, ofwel x= r^10 * B /V .

Invullen van de waarden levert op X = 12625,42333 als eerste aflossingsbedrag.

Zie reactie voor controletabel.