Moeten keuringsrapporten opgeborgen worden bij de betreffende auto?

Nee, je hoeft ze aan niemand te overleggen. Of de auto gekeurd is kan de politie zien adhv het kenteken. Het is wel handig om de laatste te bewaren zodat je bij verkoop aan een particulier kunt bewijzen wat er tijdens de laatste keuring gedaan en geadviseerd is.

Binnen Nederland hoeft u het keuringsrapport niet onderweg te kunnen tonen.
Maar in het buitenland kan dat wél gevraagd worden.

“Bewaar uw APK-keuringsrapport goed
Zorg dat u het keuringsrapport altijd krijgt. U hebt dit rapport onder andere nodig als u tegen het resultaat van de keuring in beroep wilt gaan. In sommige gevallen hebt u het ook nodig als u met het voertuig in het buitenland rijdt.”
https://www.rdw.nl/Particulier/Paginas/Keuringsrapport-.aspx?path=Portal/Particulier/APK/Keuringsrapport