Als ik een A7 speel, dan zit daar een G in, maar volgens de muziektheorie is dit een Gis, hoe kan dit?

Ik denk dat je verwarring komt doordat je twee verschillende septiem-akkoorden door elkaar haalt.
Er zijn een heleboel verschillende septiem-akkoorden, waaronder de dominant septiem en de majeur septiem.
Beide zijn majeur-akkoorden (en hebben dus een grote terts), maar ze hebben een verschillende septiem.

Als je alleen de grondtoon en de 7 schrijft, zoals bij A7, is het een dominant septiemakkoord, en daarbij hoort een kleine septiem, in dit geval dus een G.
Bij een majeur septiemakkoord (ook wel groot septiemakkoord genoemd), hoort een grote septiem, in jouw geval dus die G#, maar een majeur septiemakkoord schrijf je niet als A7, maar als Amaj7.

Bij de bron vind je uitgebreidere info over de verschillende septiem-akkoorden.