Ik wil graag dat het mogelijk is om voor gebruikers van mijn website dat ze onderling berichten kunnen sturen ik gebruik joomla?

Die zijn er te kust en te keur. Zie link. Je kunt kiezen of die bijv. onder AJAX werken of bijv. in Flash.

zoals al aangegeven: er zijn er veel.

Zelf gebruik ik deze tot volle tevredenheid: http://download.dutchjoomla.org/download/file/1857-jam-1-1-2-hotfix.html .

Wat misschien ook nog een optie is: als je toevallig ook nog een forum overweegt, dan zijn er in veel fora-componenten ook Persoonlijke Berichten (PB-tjes) mogelijk.