Nee, dat gaat niet zomaar.

Daarvoor zou Gmail (of elke andere aanbieder) bewust ondersteuning moeten bieden, wat een flink stuk programmeerwerk vooraf voor hun betekent.
Voor zover mij bekend doet geen enkele mailaanbieder dat, en logisch ook, omdat dat het bezoek aan hun eigen website onnodig zou maken. Dat willen ze niet want dan verliezen ze klantbinding, en eventueel reclameinkomsten.

Na wat research ben ik hier op gekomen: http://stackoverflow.com/questions/3165014/fetching-mail-from-a-pop3-server-using-php.
Ja, het kan dus, zolang de server POP3 ondersteunt en G-Mail ondersteunt dat.
Succes!

Het kan via POP, maar ook via RSS:

https://mail.google.com/mail/feed/atom

Hier is een PHP script die de feed uitleest:

Mijn email

$feed = GetGmail();
foreach($feed->entry as $entry)
{
echo '
• '. $entry->author->name . " - " . $entry->title.'
';
}
?>

function GetGmail()
{
$username = "jouw GMail adres";
$password = "wachtwoord";

$options = array(
CURLOPT_URL => "https://mail.google.com/mail/feed/atom",
CURLOPT_RETURNTRANSFER => true,
CURLOPT_FOLLOWLOCATION => true,
CURLOPT_SSL_VERIFYPEER => false,
CURLOPT_USERPWD => $username . ":" . $password,
CURLOPT_HTTPAUTH => CURLAUTH_BASIC,
CURLOPT_ENCODING => ""
);

$curl = curl_init();
curl_setopt_array($curl, $options );
$mailData = curl_exec($curl);
curl_close($curl);

return new SimpleXmlElement($mailData);
}
?>

Je kunt dit beter niet client-side doen, want dan ziet iedereen je wachtwoord.