Hebben '.com' '.nl' '.org' etcetera een eigen server om online te blijven om de diensten aan te bieden?

Elke website staat gehost op een server. Dit kan shared hosting zijn of dedicated servers. De prijzen verschillen van 10 euro per jaar tot duizenden euro's.
Deze kun je huren bij een hostingbedrijf.
Door middel van DNS servers kun je een domein koppelen aan het afgenomen pakket.

Nee, die hebben geen eigen servers, maar elke Top Level Domain (TLD) heeft wel zijn eigen organisatie die het aanmaken van domains onder dat TLD beheert. Bij het registreren van zo'n naam wordt die naam aan DNS (Domain Name System) toegevoegd, en die servers staan in principe los van de TLD beheerders.

https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_Name_System