Hoe kan ik een kopie van mijn website maken in Joomla en daarna in een testversie een beetje gaan uittesten?

Nee, je hebt geen 2de domeinnaam nodig.
je kunt een map maken in je public_html map, de map waar joomla nu ook staat. Die noem je bijv; testsite. dan krijg je dus.. www.websitenaam.ext/testsite als adres voor die joomla installatie.

Voor een één op één kopie moet je ook via phpmyadmin je database kopieren en daarna als bijv query in de nieuwe database inladen. Dan pas heb je een echte kopie.
Succes ermee.

Database kopieren lijkt lastiger dan het is. Via google zijn meerdere stap voor stap uitleggen te vinden.